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所有基本初等函数在其定义域内都是连续的，定义域与定义区间是不一样的,如果初等函数的定义域是一些离散的点构成的,函数不可能连续。
初等函数必然连续吗
当然不一定，例如初等函数f(x)=1/x，这个函数的原函数F(x)=ln|x|+c(c是任意常数)，在x=0点处就不连续。x=0点处没有定义。
但是这种间断点是因为没有定义的间断点，属于定义域不连续导致的函数不连续，而在定义域内是连续的。
初等函数本身并不是连续函数，如f(x)=1/x这样初等函数也是有间断点x=0的。
但是初等函数的间断点是因为定义域不连续导致的间断点。在定义域内部是不会存在间断点的。
连续函数的其他性质
1、在某点连续的有限个函数经有限次和、差、积、商(分母不为0) 运算，结果仍是一个在该点连续的函数。
2、连续单调递增 (递减)函数的反函数，也连续单调递增 (递减)。
3、连续函数的复合函数是连续的。
4、一个函数在某点连续的充要条件是它在该点左右都连续。
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